Infinito

Me pego pensando em como discorrer sobre o que está além de minha compreensão sem profanar sua pureza. Pois determinar o infinito não seria de certa forma defini-lo além do que ele não é? Pois se digo que algo é sem limites, nego seu fim e seu caráter temporal, então o infinito se encaminha para alguma direção determinada e não pode ter a liberdade que é sua por definição.

Portanto creio que a forma mais pura de definir o infinito é lhe atribuir todas as definições e o descrevendo da mesma forma que uma criança da 5 série:  "O infinito é tudo", o infinito é o que tem fim, mas além disso é também o que nunca terminou e nunca irá, e além disso é o que se degrada pela mudança inevitável e também a atemporalidade que a ignora, o infinito é todas as definições e ainda assim aquilo o que com toda minha eloquência não consigo definir.

Lemniscata

A lemniscata, também conhecida como o "oito deitado", representa na geometria sagrada o símbolo do infinito. A razão para sua curva geométrica assumir tal significado é seu traço contínuo, uma forma sem começo nem fim.

Um dos anéis da Lemniscata é a jornada do nascimento à morte, o outro da morte ao novo nascimento. Está também relacionado ao Ouroboros, cuja figura é uma serpente mordendo a própria cauda, indicando um ciclo interminável, embora esta esteja mais relacionada a eternidade que com o próprio infinito em si.

Etimologia

Infinito vem do latim, INFINITUS "sem limites, sem fronteiras", de IN, negativo, mais FINITUS, “o que define”, de FINIS, “fim, término”.

Há 5 possíveis definições centrais para o infinito:

1- Tempo ou espaço que não tem fim;
2- Um lugar que é tão distante que não pode ser mensurado;
3- Um número extremamente grande de alguma coisa;
4- Limite que uma função ƒ é dita se aproximar de x = a quando ƒ (x) é maior que qualquer número pré-atribuído para todo x suficientemente próximo de a;

Há ainda uma quinta definição de caráter religioso, a de um deus, absoluto. Ao longo do post falarei de todas essas definições e veremos qual delas mais se aproxima do real caráter do infinito.

O infinito na história

Na Grécia antiga se utilizava a palavra apeirón para se referir ao infinito. Apeirón significa infinito, indefinido e indeterminado e era um termo negativo e perjurativo, pois além do infinitamente grande apeirón também podia significar totalmente desordenado, infinitamente complexo e sujeito a nenhuma determinação finita. Nas palavras de Aristóteles, "... ser infinito é uma privação, não uma perfeição, mas a ausência de um limite..."

Não havia lugar para o apeiron no universo de Pitágoras e Platão. Pitágoras acreditava que qualquer aspecto do mundo poderia ser representado por um arranjo finito de números naturais (onde "número natural" significa "número inteiro"). Platão acreditava que até mesmo sua forma última (do universo), o Bem, deve ser finita e definida. Isso foi em contradição com quase todos os metafísicos posteriores, que assumiram que o Absoluto é necessariamente infinito.

Aristóteles reconheceu que há muitos aspectos do mundo que parecem apontar para a realidade do apeiron. Por exemplo, parece possível que o tempo vá durar para sempre; e parece que o espaço é infinitamente divisível, de modo que qualquer segmento de linha contém uma infinidade de pontos. A fim de evitar esses infinitos reais que pareciam ameaçar a ordem de seu mundo finito a priori , Aristóteles inventou a noção do potencialmente infinito em oposição ao infinito real.

Aristóteles diria que o conjunto de números naturais é potencialmente infinito, já que não há um maior número natural, mas ele negaria que o conjunto é realmente infinito, já que não existe como uma coisa acabada. Essa é uma distinção duvidosa, que inclusive viria a ser questionada por Cantor  "... na verdade o potencialmente infinito tem apenas uma realidade emprestada, na medida em que um conceito potencialmente infinito sempre aponta para um conceito logicamente anterior e infinito, de cuja existência ele depende."

Plotino foi o primeiro pensador depois de Platão a adotar a crença de que pelo menos Deus, ou o Uno, é infinito, afirmando "O uno absoluto, nunca conheceu a medida e está fora do número, e portanto está sob nenhum limite; seja em relação a qualquer coisa externa ou interna, pois qualquer determinação desse tipo traria algo de dualidade para ele ”.

Santo Agostinho, que adaptou a filosofia platônica à religião cristã, acreditava não só que Deus era infinito, mas também que Deus podia exprimir pensamentos infinitos. Santo Agostinho argumentou que:

"Tal como dizer que as coisas infinitas estão fora do conhecimento de Deus, também pode-se pular de cabeça neste poço de impiedade, e dizer que Deus não conhece todos os números ... Que louco diria isso?  O que devemos presumir com infelizes que se atrevem a limitar o conhecimento Dele? "

Os pensadores medievais posteriores não foram tão longe quanto Agostinho e, embora concedendo a ilimitação de Deus, não estavam dispostos a admitir que qualquer uma das criaturas de Deus pudesse ser infinita. Em sua Summa Theologiae, São Tomás de Aquino dá uma espécie de prova aristotélica de que "embora o poder de Deus seja ilimitado, ele ainda não pode fazer uma coisa absolutamente ilimitada, não mais do que pode fazer uma coisa desfeita (pois isso envolve contraditórios juntos). " Os argumentos são elegantes, mas sofrem da falha de ser circular: está provado que a noção de uma coisa ilimitada é contraditória ao escorregar na premissa de que uma "coisa" é por sua própria natureza limitada.

Assim, com exceção de Agostinho e de alguns outros, os pensadores medievais não estavam preparados para lidar com a infinitude de quaisquer outras entidades além de Deus, sejam elas físicas, psicológicas ou puramente abstratas. O famoso quebra-cabeça de quantos anjos podem dançar na cabeça de um alfinete pode ser visto como uma questão sobre a relação entre o Criador infinito e o mundo finito. O ponto crucial deste problema é que, por um lado, parece que, como Deus é infinitamente poderoso, ele deveria ser capaz de oferecer um número infinito de anjos para dançar na cabeça de um alfinete; por outro lado, acreditava-se pelos pensadores medievais que nenhuma coleção realmente infinita poderia surgir no mundo criado.

Suas provas de que o infinito é de alguma forma uma noção contraditória eram todas falhas, mas havia pelo menos um paradoxo interessante envolvendo o infinito do qual os pensadores medievais estavam cientes. Parece que qualquer linha inclui infinitamente muitos pontos. Como a circunferência de um círculo com raio dois é duas vezes maior que a circunferência de um círculo com raio um, então o primeiro deveria incluir uma infinidade maior de pontos do que o segundo. Mas, ao desenhar raios, podemos ver que cada ponto P no pequeno círculo corresponde exatamente a um ponto P ' no círculo grande, e cada ponto Q' no círculo grande corresponde exatamente a um ponto Q no pequeno círculo. Assim, parece que temos dois infinitos que são simultaneamente diferentes e iguais.

No início dos anos 1600, Galileu Galilei ofereceu uma solução curiosa para esse problema. Galileu propôs que o comprimento menor pudesse ser transformado no comprimento mais longo, adicionando um número infinito de intervalos infinitamente pequenos. Ele estava bem ciente de que tal procedimento leva a várias dificuldades: "Essas dificuldades são reais; e elas não são as únicas. Mas lembremo-nos de que estamos lidando com infinitos e indivisíveis, ambos transcendendo nossa compreensão finita, um por causa de sua magnitude, e o último por causa de sua pequenez. Apesar disso, os homens não podem deixar de discuti-los, mesmo que isso deva ser feito de maneira indireta. "

Ele resolveu algumas de suas dificuldades afirmando que os problemas surgem apenas "quando tentamos, com nossas mentes finitas, discutir o infinito, atribuindo a ele as propriedades que damos ao finito e limitado; mas isso eu acho que está errado, pois não se pode falar de quantidades infinitas como sendo maior, menor ou igual a outra ".

O Paradoxo de Galileu

O paradoxo de Galileu é uma demonstração de uma das surpreendentes propriedades dos conjuntos infinitos. O carácter paradoxal dá-se por se ter subentendido o princípio de que o todo é maior que as suas partes.

Por um lado, parece evidente que a maioria dos números naturais não são quadrados perfeitos, de modo que o conjunto de quadrados perfeitos é menor que o conjunto de todos os números naturais; mas, por outro lado, como todo número natural é a raiz quadrada de exatamente um quadrado perfeito, parece que há tantos quadrados perfeitos quanto números naturais. Para Galileu, o resultado desse paradoxo foi que "só podemos inferir que a totalidade de todos os números é infinita e que o número de quadrados é infinito ... nem o número de quadrados menor que a totalidade de todos os números, nem o último é maior que o primeiro, e, por fim, os atributos "igual", "maior" e "menor" não são aplicáveis ​​ao infinito, mas apenas às quantidades finitas "

O infinito na matemática

É com Galileu que temos os primeiros indícios modernos em relação ao infinito real da matemática. Se conjuntos infinitos não se comportam como conjuntos finitos, isso não significa que infinito seja uma noção inconsistente. Significa, sim, que os números infinitos obedecem a uma "aritmética" diferente dos números finitos. Se usar as noções comuns de "igual" e "menor que" em conjuntos infinitos leva a contradições, isso não é um sinal de que conjuntos infinitos não podem existir, mas sim que essas noções não se aplicam sem modificação a conjuntos infinitos. O próprio Galileu não viu como realizar tal modificação dessas noções; esta seria a tarefa de Georg Cantor, cerca de 250 anos depois

Uma das razões pelas quais Galileu achava necessário chegar a algum tipo de termos com o infinito real era seu desejo de tratar o espaço e o tempo como quantidades continuamente variáveis. Assim, os resultados de um experimento em movimento podem ser declarados na forma que x = f (t), que a posição espacial é uma certa função da mudança contínua do tempo. Mas esta variável t que cresce continuamente desde, digamos, de zero a dez é apeiron, tanto no sentido de que ele assume valores arbitrários, e no sentido de que é preciso em um número infinito de valores.

Essa visão da posição em função do tempo introduziu um problema que ajudou a levar à fundação do Cálculo no final do século XVII. O problema era o de encontrar a velocidade instantânea de um corpo em movimento, cuja distância x do seu ponto de partida é dada como uma função f (t) de tempo.

Acontece que para calcular a velocidade em algum instante t o , tem de se imaginar medir a velocidade durante um infinitamente pequeno intervalo de tempo dt. A velocidade de f '(t o ) em t o é dado pela fórmula ( f (t o + dt) - f (t o )) / dt.

Se você assim como eu, não é muito familiarizado com a matemática dificilmente você vai entender isso de primeira, então da forma que eu vejo, ou você pode rolar isso até a parte que volte a te interessar ou você pode tirar 10 minutinhos para estudar os termos e reler devagar que com certeza irá fazer mais sentido do que antes.

A quantidade dt é chamada de infinitesimal e obedece a muitas regras estranhas. Se dt é adicionado a um número regular, então ele pode ser ignorado, tratado como zero. Mas, por outro lado, dt é considerado suficientemente diferente de zero para ser utilizável como o denominador de uma fração. Então é dt zero ou não? Adicionar infinitamente muitos infinitesimais juntos dá outro infinitesimal. Mas adicionar infinitamente muitos deles juntos pode fornecer um número comum ou uma quantidade infinitamente grande.

O uso de números infinitamente pequenos e infinitamente grandes no cálculo foi logo substituído pelo processo limite. Mas é improvável que o cálculo possa ter se desenvolvido tão rapidamente, se os matemáticos não estivessem dispostos a pensar em termos de infinitos reais. Nos últimos quinze anos, Abraham Robinson produziu uma técnica pela qual infinitesimais podem ser usados ​​sem medo de contradição. A técnica de Robinson envolve a ampliação dos números reais para o conjunto de números hiper- reais.

Após a introdução do processo limite, o cálculo foi capaz de avançar por um longo tempo sem o uso de qualquer quantidade infinita real. Mas, à medida que os matemáticos tentavam obter uma descrição precisa do continuum ou linha real, tornou-se evidente que os infinitos nos fundamentos da matemática só poderiam ser evitados à custa de grande artificialidade.

Foi George Cantor que, no final de 1800, finalmente criou uma teoria do infinito real que, pela sua aparente consistência, demoliu as "provas" aristotélicas e escolásticas de que tal teoria não poderia ser encontrada. Embora Cantor fosse um erudito completo que mais tarde escreveu algumas defesas filosóficas muito interessantes do infinito real, seu ponto de entrada foi um problema matemático que tem a ver com a singularidade da representação de uma função como uma série trigonométrica.

Cantor logo obteve uma série de resultados interessantes sobre conjuntos realmente infinitos, mais notavelmente o resultado de que o conjunto de pontos na linha real constitui um infinito maior que o conjunto de todos os números naturais. Ou seja, Cantor foi capaz de mostrar que o infinito não é um conceito de tudo ou nada: existem graus de infinito.

Este fato vai contra o ingênuo conceito de infinito: existe apenas um infinito, e esse infinito é inatingível e não é bem real. Cantor mantém esse infinito ingênuo, que ele chama de Infinito Absoluto, mas ele permite muitos níveis intermediários entre o infinito finito e o Infinito Absoluto. Esses estágios intermediários correspondem a seus números transfinitos . . . números que são infinitos, mas nem por isso concebíveis.

Cantor distingue entre o Infinito Absoluto, os infinitos físicos e os infinitos matemáticos:

"O infinito real surge em três contextos: primeiro quando é realizado da forma mais completa, em um ser de outro mundo totalmente independente, em Deo, onde eu o chamo de Infinito Absoluto ou simplesmente Absoluto; segundo, quando ocorre no mundo contingente e criado; terceiro, quando a mente apreende-o em abstracto como magnitude matemática, número ou tipo de ordem. Desejo fazer um contraste nítido entre o Absoluto e o que chamo de Transfinita, isto é, os infinitos reais dos dois últimos tipos, que são claramente limitados, sujeitos a novos acréscimos e, portanto, relacionados ao finito."

Infinidades físicas

Existem três maneiras pelas quais o nosso mundo parece ser ilimitado e, assim, talvez, infinito. Parece que o tempo não pode acabar. Parece que o espaço não pode acabar. E parece que qualquer intervalo de espaço ou tempo pode ser dividido e subdividido indefinidamente. Vamos considerar esses três infinitos físicos aparentes em três subseções.

Infinidades Temporais

Suponha que a raça humana nunca morreria - que qualquer geração seria seguida por outra geração. Não teríamos então que admitir que o número de gerações do homem é realmente infinito?

Aristóteles argumentou contra essa conclusão, afirmando que, nessa situação, o número de gerações do homem seria potencialmente infinito; isto é, infinito apenas no sentido de ser inesgotável. Ele sustentava que, em determinado momento, haveria apenas um número finito de gerações, e que não era permissível tomar todo o futuro como um todo único contendo uma infinidade real de gerações.

Para concordar com Aristóteles, embora nunca haja uma última geração, não há um conjunto infinito de todas as gerações, devemos acreditar que o futuro não existe como algo estável e definitivo. Pois se temos o futuro existindo de maneira fixa, então temos todas as infinitas gerações futuras existentes "ao mesmo tempo".

Mas uma das principais consequências da Teoria Especial da Relatividade de Einstein é que é o espaço-tempo que é um espaço fundamental, não isolado, que evolui com o passar do tempo. E com base na teoria física moderna, temos todos os motivos para pensar na passagem do tempo como uma ilusão. Passado, presente e futuro, todos existem juntos no espaço-tempo.

Assim, a questão da infinitude do tempo não é aquela que deve ser evitada, negando que o tempo possa ser tratado como uma dimensão fixa, como o espaço. A questão ainda permanece: o tempo é infinito? Se tomarmos todo o espaço-tempo do nosso universo, a dimensão do tempo é infinitamente ampliada ou não?

Cinqüenta, ou mesmo vinte anos atrás, teria sido natural afirmar que nosso universo não tem começo nem fim e que o tempo é infinito em ambas as direções. Mas recentemente tornou-se um fato estabelecido que o universo tem um começo no tempo conhecido como o Big Bang. O Big Bang ocorreu aproximadamente 15 bilhões de anos atrás. Naquela época, nosso universo era do tamanho de um ponto, e vem se expandindo desde então. O que aconteceu antes do Big Bang? É pelo menos possível responder "Nada". O aparente paradoxo de ter um primeiro instante de tempo às vezes é evitado dizendo que o Big Bang não ocorreu no tempo. . . esse tempo está aberto, ao invés de fechado, no passado.

Essa é uma distinção sutil, mas útil. Se pensarmos no tempo como sendo todos os pontos maiores ou iguais a zero, então há um primeiro instante: zero. Mas se pensarmos no tempo como sendo todos os pontos estritamente maiores que zero, então não há um primeiro instante. Para qualquer instante t maior que zero, um tem um instante anterior t / 2 que também é maior que zero.

Mas, em todo caso, se pensarmos no tempo como não existindo antes do Big Bang, certamente não há um número infinito de anos em nosso passado. E sobre o futuro? Não há consenso real sobre isso. Muitos cosmólogos acham que nosso universo acabará por se expandir e desmoronar para formar um único grande buraco negro chamado Big Stop; outros acham que a expansão do universo continuará indefinidamente.

Se o universo realmente começa como um ponto e eventualmente contrai de volta a um ponto, é realmente razoável dizer que não há tempo a não ser o intervalo entre esses pontos? O que vem antes do começo e depois do fim?

Uma resposta é ver o universo como um sistema oscilante, que passa repetidamente por expansões e contrações. Isso reintroduziria um tempo infinito, que poderia, no entanto, ser evitado.

A maneira pela qual se evitaria o tempo infinito em um universo infinitamente oscilante seria adotar uma crença no que costumava ser chamado de "eterno retorno". Essa é a crença de que, de vez em quando, o universo deve se repetir. A idéia é que um universo finito deva retornar ao mesmo estado de vez em quando, e que uma vez que o mesmo estado tenha surgido, a evolução futura do universo será a mesma que já passou. A doutrina da eterna recorrência equivale à suposição de que o tempo é um vasto círculo.

Existe um modelo mais simples de um universo oscilante com tempo circular, que pode ser chamado de espaço-tempo toroidal. No espaço-tempo toroidal, temos um universo oscilante que se repete após cada ciclo.

Note, no entanto, que se o universo realmente se expande para sempre, então ele nunca poderá se repetir, já que a distância média entre as galáxias é uma quantidade continuamente crescente que nunca retorna ao mesmo valor.

Infinidades espaciais

Há alguma possibilidade de haver infinidades espaciais? A distinção entre potencial e infinito real às vezes é usada para tentar eliminar essa questão no início. Kant argumentou que o mundo não pode ser um todo infinito de coisas coexistentes porque "para assim conceber o mundo, que preenche todo o espaço, como um todo, a síntese sucessiva das partes de um mundo infinito teria que ser considerado como completo, isto é, um tempo infinito teria que ser considerado como decorrido, durante a enumeração de todas as coisas coexistentes ".

O argumento de Kant é que o espaço, em certo sentido, ainda não está realmente lá - que as coisas só existem juntas no espaço quando uma mente as percebe para fazê-lo. Se aceitarmos isso, então é verdade que um espaço infinito é algo que nenhuma mente finita pode conhecer depois de qualquer quantidade finita de tempo. Mas sentimos que o mundo existe como um todo, antes de qualquer esforço de nossa parte para vê-lo como uma unidade. E se tomarmos todo o espaço-tempo, certamente não parece sem sentido perguntar se a extensão espacial do espaço-tempo é infinita ou não.

Foi Lucrécio quen deu o primeiro argumento clássico para a ilimitação do espaço: "Suponhamos por um momento que todo o espaço fosse delimitado e que alguém fizesse seu caminho até seu limite extremo e jogasse um dardo voador". Parece que ou o dardo deve ultrapassar a fronteira, caso em que não é limite do espaço; ou o dardo deve parar, caso em que há algo além da fronteira que o impede, o que significa novamente que o limite pretendido não é realmente o fim do universo.

Parmênides, Platão e Aristóteles se recusavam de toda forma a aceitar o apeirón e sustentavam que o espaço do nosso universo é limitado e finito, tendo a forma de uma vasta esfera. Quando confrontado com a questão do que está fora desta esfera, Aristóteles sustentou que "o que é limitado, não é limitado em referência a algo que o rodeia".

Nos tempos modernos, se desenvolveu uma maneira de tornar a alegação de Aristóteles um pouco mais razoável. Como Lucrécio percebeu, o ponto fraco na afirmação de que o espaço é uma esfera finita é que tal espaço tem um limite definido. Mas há uma maneira de construir um espaço tridimensional que é finito e que não tem pontos de fronteira: basta pegar a hipersuperfície de uma hiperesfera. Esse espaço é ilimitado, porém não infinito.

Para entender como algo pode ser ilimitado, mas não infinito, pense em um círculo. Uma mosca pode andar e andar ao redor da borda de um copo sem nunca chegar a uma barreira ou ponto de parada, mas nem por isso ele irá evitar de começar a refazer seus passos.

Novamente, a superfície da Terra é uma variedade bidimensional que é finita mas ilimitada (ilimitada no sentido de não ter arestas). Você pode viajar e viajar na superfície da Terra sem nunca chegar a uma barreira verdadeiramente intransponível. . . mas se você continuar por muito tempo, começará a refazer seus passos.

A razão pela qual a superfície bidimensional da Terra é finita mas ilimitada é que ela é dobrada, no espaço tridimensional, na forma de uma esfera. Da mesma forma, é possível imaginar o espaço tridimensional do nosso universo como sendo dobrado, em algum espaço de quatro dimensões, na forma de uma hiperesfera. Foi Bernhard Riemann quem primeiro percebeu essa possibilidade em 1854. Existe, no entanto, uma crença tradicional que antecipa a hiperesfera. Essa tradição, descrita no ensaio "A temerosa esfera de Pascal", de Jorge Luis Borges, é resumida no ditado (atribuído ao lendário mágico Hermes Trismegistus) que "Deus é uma esfera inteligível, cujo centro está em toda parte e cuja circunferência está em nenhum lugar. "  Se o universo é de fato uma hiperesfera, então seria bastante correto considerá-lo como uma esfera cujo centro está em toda parte e cuja circunferência não está em lugar algum

Para ver por que isso acontece, considere o fato de que, se o espaço é hiperesférico, pode-se cobrir todo o espaço iniciando em qualquer ponto e permitindo que uma esfera se expanda a partir desse ponto. O curioso é que, se alguém deixa que uma esfera se expanda num espaço hiperesférico, chega um momento em que a circunferência da esfera se transforma em um ponto e desaparece. Esse fato pode ser apreendido considerando-se a situação análoga da sequência de linhas de latitude circulares na superfície esférica da Terra.

Se o nosso espaço é ou não infinito é uma questão que poderia ser resolvida nas próximas décadas. Supondo que a teoria da gravitação de Einstein esteja correta, existem basicamente dois tipos de universo:

1- Um espaço hiperesférico (fechado e ilimitado) que se expande e depois contrai de volta a um ponto;

2- Um espaço infinito que se expande para sempre. O destino do universo no caso 1 é certamente mais interessante, uma vez que tal universo colapsa de volta a uma singularidade do espaço-tempo infinitamente densa que pode servir como semente para todo um novo universo. No caso 2, por outro lado, nós simplesmente temos sóis resfriadores e moribundos cada vez mais distantes em uma imensidão negra totalmente vazia. . . e no final há apenas cinzas e cinzas em uma noite absoluta e eterna.

Mas há alguma maneira de encontrar um infinito espacial aqui? Bem, e quanto ao espaço quadridimensional em que nosso universo hiperesférico está flutuando? Muitos descartariam esse espaço como uma mera ficção matemática. . . como um modo colorido de expressar a natureza finita, mas ilimitada, do nosso universo. Essa posição amplamente aceita é realmente uma versão mais sofisticada da afirmação de Aristóteles de que o que é limitado não precisa ser limitado com referência a algo fora de si mesmo.

Mas e se alguém escolher acreditar que o espaço de quatro dimensões em que nosso universo se curva é real? Podemos imaginar um mundo 4-D (quadridimensional) mais alto chamado, digamos, um duoverse. O duoverso seria o espaço 4-D no qual algum número de hiperesferas estava flutuando. A hipersuperfície de cada uma das hiperesferas seria um universo 3-D finito e ilimitado.

Ao diminuir todas as dimensões em uma, pode-se ver que esta situação é análoga a um universo que é um espaço 3-D no qual um número de esferas está flutuando. A superfície de cada esfera ou planeta é um espaço 2-D finito e ilimitado; e ninguém pode ir de uma superfície do planeta para outra superfície do planeta sem viajar pelo espaço 3-D.

Seguindo o princípio hermético, "como acima, abaixo", somos tentados a acreditar que o duoverso em que estamos é na verdade um espaço 4-D finito e ilimitado (a superfície 4-D de uma esfera 5-D em espaço 5-D), e que há um número de tais duoverses à deriva em um triverso 5-D. Isso poderia continuar indefinidamente. Lembra bastante as descrições orientais do mundo como um disco apoiado nas costas ds um elefante, que estão sobre uma tartaruga, que está sobre uma tartaruga, que está sobre outra tartaruga, que está sobre uma tartaruga, etc.

Nesse tipo particular de cosmos existe apenas um universo, um duoverso, um triverso, e assim por diante. Mas, no tipo de cosmo infinitamente regressivo, temos infinitos objetos em cada nível. Note também que, para ir de uma estrela em uma hiperesfera para outra estrela em outra hiperesfera, seria necessário mover-se pelo espaço 5-D para chegar a um duoverso diferente. É uma característica curiosa de tal cosmos que, embora haja um número infinito de estrelas, nenhum espaço n- dimensional tem mais do que um número finito delas.

A questão com a qual estamos preocupados aqui é se o espaço é infinitamente grande. Parece haver três opções:

1- Existe algum nível n para o qual o espaço  n- dimensional é real e infinitamente estendido. A situação em que o nosso espaço tridimensional é infinitamente grande é falha neste caso.

2- Existe algum n tal que existe apenas um espaço n- dimensional. Este espaço deve ser finito e ilimitado, e não deve haver nenhuma realidade n+ 1 espaço dimensional A situação em que o nosso espaço tridimensional é finito e ilimitado, e a realidade do espaço quadridimensional, caem ambas neste caso.

3- Existem espaços reais de todas as dimensões, e cada um desses espaços é finito e ilimitado. Neste caso, ou temos um número infinito de universos, duoverses, etc., ou alcançamos um nível após o qual existe apenas um n -versão para cada n.

Então o espaço é infinito? Parece que podemos insistir que em algum nível dimensional é infinito; adotar a postura aristotélica de que o espaço é finito em algum nível além do qual nada está; ou aceite a visão de que há uma sequência infinita de níveis dimensionais. Neste último caso, já temos um infinito qualitativo na dimensionalidade do espaço, e podemos ou não ter um infinito quantitativo em termos, digamos, do volume total de todos os espaços tridimensionais envolvidos.

Infinito Absoluto

"O medo do infinito é uma forma de miopia que destrói a possibilidade de ver o infinito real, ainda que em sua forma mais elevada nos tenha criado e nos sustenha, e em suas formas transfinitas secundárias ocorra ao nosso redor e até habite nossas mentes"

                                          George Cantor

Há ainda um certo tipo de entidade não física que não foi mencionada ainda. Deus, o cosmos, a imagem mental - versões do que os filósofos chamam de Absoluto. A palavra "Absoluto" é usada aqui no sentido de "não-relativo, não-subjetivo". Um Absoluto existe por si mesmo e no mais alto grau possível de completude.

Como dito anteriormente, Plotino afirmou que o Um não poderia ser limitado em nenhum sentido. Assim como Aquino, o teólogo diz: "A noção de forma é mais plenamente realizada na própria existência. E em Deus a existência não é adquirida por nada, mas Deus é a própria existência subsistente. É claro, então, que o próprio Deus é tanto ilimitado e perfeito ". 

A ilimitação de Deus é expressa de uma forma mais próxima do infinito matemático de São Gregório: "Não importa quão longe nossa mente tenha progredido na contemplação de Deus, ela não alcança o que Ele é, mas o que está abaixo Dele " Temos aqui os rudimentos do processo dialético infinito que ocorre se sistematicamente tentarmos construir uma imagem de toda a Mente.

Uma breve explicação do Minscape

Pense na consciência como um ponto, um "olho", que se move em uma espécie de espaço mental. Todos os pensamentos já estão presentes nesse espaço multidimensional, que também podemos chamar de Mindscape. Nossos corpos se movem no espaço físico chamado Universo; nossas consciências se movem no espaço mental chamado Mindscape.

Assim como todos nós compartilhamos o mesmo Universo, todos compartilhamos o mesmo Mindscape. Pois assim como você pode ocupar fisicamente a mesma posição no Universo que qualquer outra pessoa faz, você pode, em princípio, ocupar mentalmente o mesmo estado mental ou posição na Mente que qualquer outra pessoa faz. É, evidentemente, difícil mostrar a alguém exatamente como ver as coisas do seu jeito, mas toda a herança cultural da humanidade atesta que isso não é impossível.

Assim como uma rocha já está no Universo, quer a pessoa esteja ou não lidando com ela, uma ideia já está na Mente, quer a pessoa esteja ou não pensando nela. Uma pessoa que  pesquisa matemática, escreve histórias ou medita é um explorador da Mindscape da mesma maneira que Armstrong, Livingstone ou Cousteau são exploradores das características físicas do nosso Universo. As rochas da Lua estavam lá antes do módulo lunar pousar; e todos os pensamentos possíveis já estão lá fora na Mindscape.

A mente de um indivíduo parece ser análoga à sala ou ao bairro em que essa pessoa vive. Um ser nunca está em contato com todo o Universo através de suas percepções físicas, e é duvidoso que a mente de alguém seja capaz de preencher toda a Mindscape.

Continuando...

Suponha que eu queira adicionar pensamento após pensamento à minha mente até que minha mente preencha toda a Mindscape. Sempre que faço uma tentativa disso, estou reunindo um grupo de pensamentos em um único pensamento T. Agora, quando me torno consciente de meu estado mental , percebo que esse é um pensamento novo que eu ainda não tinha explicado. . . . então eu melhoro minha imagem da Mindscape passando para o pensamento que inclui todos os elementos de T mais T, vistos objetivamente.

O fato é que quando fazemos este processo formamos um pensamento que tem como membros os membros do último pensamento mais o último pensamento em si. Visto de outra maneira, o pensamento em cada estágio tem todos os estágios anteriores como componentes.

Parece, em particular, que Deus deve ser capaz de formar uma imagem mental precisa de si mesmo. Na medida em que a Mindscape é a mente de Deus, o que estou dizendo é que um dos objetos na Mente deve ser a própria Mindscape. Isto é, o Mindscape é um M que tem M como um de seus membros. Agora, qualquer objeto na Mindscape é, em princípio, algo que podemos perceber através da nossa consciência. Assim, parece ser possível que nossas mentes realmente alcancem uma visão de Deus ou de toda a Mente.

Isso parece contradizer a afirmação de São Gregório e o sentimento geral de que o Absoluto é incognoscível. Mas existem dois tipos de conhecimento: o racional e o místico.

Se eu conheço alguma coisa racionalmente, então tenho um pensamento que é construído a partir de pensamentos mais simples, que por sua vez são construídos a partir de pensamentos ainda mais simples. Essa regressão não é infinita, mas passa apenas por um número finito de estágios antes que certas percepções e idéias simples e não analisáveis ​​sejam alcançadas. Minha idéia de "casa" consiste em uma coleção de idéias, cada uma representando um certo tipo de casa (por exemplo, minha casa, casa de tijolos, choupana). Cada idéia de um tipo de casa consiste em idéias de vários componentes e funções (portas, janelas, abrigo), que por sua vez podem ser explicadas em termos de certas idéias simples (andar, visão, calor).

Quando eu comunico um pensamento racional, o que eu faço primeiro é mostrar quais são os componentes do meu pensamento e então mostrar como os componentes se encaixam. Se um dos componentes do pensamento final fosse o próprio pensamento final, então essa comunicação racional seria bloqueada por uma regressão infinita. Para explicar o pensamento, eu primeiro teria que explicar o próprio pensamento. Eu não poderia terminar a menos que eu já tivesse terminado.

Em termos de pensamentos racionais, o Absoluto é impensável. Não há um caminho não circular para alcançá-lo a partir de baixo. Qualquer conhecimento real do Absoluto deve ser místico, se é que um conhecimento místico é possível.